Δημοσιεύθηκε στην Λίγα λόγια για τα μαθηματικά...

Πώς Διαβάζω Μαθηματικά?

Πώς διαβάζω Μαθηματικά ;   

Ο τρόπος προσέγγισής τους, καθορίζει το πόσο «εύκολα» ή «δύσκολα» θα είναι…

Τι είναι το «Μαθηματικό στέκι»;

Δεν είναι σκοπός αυτού του άρθρου ν’ ασχοληθεί με τις αιτίες του προβλήματος, αλλά να δώσει μερικές χρήσιμες συμβουλές και κατευθύνσεις για βελτίωση της σχέσης που έχουν οι μαθητές με τα Μαθηματικά, όποια κι αν είναι αυτή. Και – γιατί να μην το παραδεχθούμε ανοιχτά; – επειδή οι περισσότεροι μαθητές έχουν κακή σχέση μαζί τους, το άρθρο αυτό ελπίζει να συμβάλει στην βελτίωση αυτής της συμβίωσης. Δυστυχώς γι’ αυτούς που δεν θέλουν ούτε στα μάτια τους να τα βλέπουν, αυτή η συμβίωση λήγει στην Γ΄ Λυκείου, αν ακολουθήσουν καθαρά θεωρητικές σπουδές. Επομένως, 6 χρόνια στο Δημοτικό + 3 χρόνια στο Γυμνάσιο + 2 χρόνια στο Λύκειο = 11 χρόνια Μαθηματικά.

Γυμνάσιο: η αρχή του προβλήματος.

Θα εξηγήσω αμέσως γιατί θεωρώ το Γυμνάσιο ως αρχή του προβλήματος και όχι το Δημοτικό.

Στο Δημοτικό τα παιδιά έρχονται σε επαφή με τα Μαθηματικά σε πρακτικό επίπεδο: γνωριμία με τους αριθμούς και τις βασικές πράξεις, προβλήματα Πρακτικής Αριθμητικής, δηλαδή προβλήματα -γενικώς- που μπορούν ακόμη και με τα χέρια τους να πιάσουν. Οι αφηρημένες έννοιες (π.χ. εξισώσεις) τοποθετούνται σε πρακτικό επίπεδο («Αν 1 κιλό μήλα κοστίζουν 1,8 ευρώ, πόσα κιλά μήλα αγοράζουμε με 4,2 ευρώ;») και τα παιδιά αρχίζουν να θέτουν τις πρώτες βάσεις της αποκαλούμενης «μαθηματικής σκέψης».

Αν και δεν είναι ακριβώς «μαθηματική σκέψη» αυτό, χάριν των επομένων θα συμφωνήσω. Με αυτά τα πρώτα προβλήματα στο Δημοτικό, αλλά κι επειδή σαν βαθμίδα εκπαίδευσης -καίτοι σημαντική- δεν έχει τις απαιτήσεις (αλλά και το επίπεδο δυσκολίας) του Γυμνασίου και του Λυκείου, τα 6 χρόνια του Δημοτικού περνάνε χωρίς πολλές σκοτούρες για τα παιδιά (καλώς, αφού το αντίθετο θα επέφερε περισσότερα κακά απ’ όσα καλά -θεωρητικά- θα δημιουργούσε).

Επομένως; Γιατί το Γυμνάσιο είναι η αρχή του προβλήματος;

Διότι στο Γυμνάσιο υπάρχει πλήρης αλλαγή πλεύσης και το πρώτο ουσιαστικό «πολιτισμικό σοκ» των μαθητών. Από την Πρακτική Αριθμητική πάνε στα Μαθηματικά, ήτοι από το συγκεκριμένο πάνε στο αφηρημένο. Το πρόβλημα με τα μήλα πλέον αποτελεί ένα από τα παραδείγματα που δημιουργούνται για την εισαγωγή και μύηση του μαθητή στην έννοια της εξίσωσης, στην ζωή τους πλέον μπαίνει «ο άγνωστος x» (τον οποίο χρόνια θα κυνηγούν να βρουν), μαθαίνουν για Άλγεβρα και Γεωμετρία, μαθαίνουν ότι τα γράμματα παίζουν τον ρόλο αριθμών, μαθαίνουν για μεταβλητές και σταθερές, για… για… για… και το πάρτι αρχίζει.

Η Α΄ Γυμνασίου αποτελεί τάξη μετάβασης από το Δημοτικό στο Γυμνάσιο και οι αφηρημένες έννοιες των Μαθηματικών εισάγονται… «με το μαλακό». Ακόμη κι έτσι όμως, η πρώτη «κρυάδα» έρχεται, αφού οι μαθητές βλέπουν ότι η «αθωότητα» του Δημοτικού χάνεται και το παιχνίδι «χοντραίνει». Έχουν, πλέον, ασκήσεις για το σπίτι, τεστ, διαγωνίσματα, βαθμούς, κάποιοι ακόμη και φροντιστήριο (κακώς).

Στην Β΄ Γυμνασίου, το τέλος της εποχής της αθωότητας του Δημοτικού έχει ολοκληρωθεί. Η εποχή αυτή έκλεισε διά παντός με το πέρας των μαθημάτων της Α΄ Γυμνασίου και πλέον το μαθηματικό λεξιλόγιο εμπλουτίζεται με νέες λέξεις και εκφράσεις (εξίσωση, συντελεστής του αγνώστου, διαιρώ με τον συντελεστή του αγνώστου, φορά ανίσωσης, Πυθαγόρειο Θεώρημα, Τριγωνομετρία κ.λπ). Αυτή είναι η πιο κρίσιμη χρονιά, αφού πλέον πράγματι μιλάμε για Μαθηματικά. Εδώ παραμονεύει η αρχή του προβλήματος «Μαθηματικά» κι εδώ θα δώσω τις πρώτες κατευθύνσεις και συμβουλές.

Ασφαλώς και δεν τίθεται θέμα κατευθύνσεων και συμβουλών προς τους καθηγητές. Την άποψή μου μπορεί να την καταθέσω, αλλά να δώσω κατευθύνσεις σε συνάδελφο… όχι, δεν θεωρώ εαυτόν άξιο γι’ αυτό. Απευθύνομαι στους μαθητές και τους γονείς τους, οι οποίοι πρέπει να είναι σε τακτική επαφή με τους καθηγητές και να ρωτούν για την πορεία τους στα Μαθηματικά. Σε άλλο άρθρο μου (μπορείτε να το διαβάσετε εδώ), αναφέρθηκα στα πολύ μεγάλα ποσοστά κακών βαθμολογιών στις πανελλήνιες εξετάσεις. Θεωρείται ότι αυτά είναι αποτέλεσμα των δύσκολων θεμάτων, της μεγάλης διδακτέας – εξεταστέας ύλης της Γ΄ Λυκείου (που δεν είναι μεγάλη, αφού παλιότερα ήταν πολλαπλάσια και δυσκολότερη της σημερινής), του φορτωμένου προγράμματος των μαθητών (που δεν είναι κάτι νέο, αφού εδώ και δεκαετίες οι μαθητές έχουν πολλές υποχρεώσεις παράλληλα να εκπληρώσουν) και άλλων παραγόντων.

Ας συμφωνήσω στα παραπάνω, χάριν της συζήτησης (που δεν συμφωνώ στο σύνολό τους, όπως είδατε από τις μικροενστάσεις που παρενθετικά κατέθεσα, αλλά -εν πάση περιπτώσει- ας συμφωνήσω). Ωραία, αυτό είναι το αποτέλεσμα. Το αίτιο ποιο είναι; Εντοπίζεται κάπου στον χρόνο, δηλαδή στην πορεία του μαθητή στα Μαθηματικά από το Γυμνάσιο έως και το Λύκειο ή φταίει μόνο η ύλη της Γ΄ Λυκείου, η δυσκολία των θεμάτων κ.λπ, κ.λπ;

Όπως είπα ήδη από την αρχή, σκοπός του άρθρου δεν είναι ν’ ασχοληθεί με τις αιτίες του προβλήματος (χωρίς να τις απαξιώνω όμως, αφού ενασχόληση μ’ ένα πρόβλημα χωρίς αναφορά στις αιτίες και προτάσεις λύσεων θεωρείται ελλειπής κατ’ εμέ). Θέλω να επισημάνω τα σημεία εκείνα που πρέπει να προσεχθούν και τι μπορεί να κάνει ο ίδιος ο μαθητής.

Στα Μαθηματικά δεν διαβάζουμε απαραίτητα ό,τι βλέπουμε.

Όσοι έχετε ακούσει ή διαβάσει κάπου αυτό που θα πω, δεν θα σας φανεί νέο. Όσοι δεν το έχετε κάνει, θα δείτε τι ισχύει και γιατί.

Τα Μαθηματικά είναι Γλώσσα. Γλώσσα, όπως τα ελληνικά, τα αγγλικά, τα κινέζικα (δεν τα επέλεξα τυχαία, αφού και τα Μαθηματικά, κινέζικα φαίνονται, έτσι δεν είναι;), που σημαίνει ότι έχουν το «αλφάβητό» τους, την «γραμματική» τους, το «συντακτικό» τους, την «προφορά» τους.

Η πρώτη σύγκρουση γίνεται εδώ, δηλαδή στο τι βλέπουμε και τι διαβάζουμε. Θα δώσω μερικά απλά παραδείγματα για να γίνω κατανοητός. Το πως συνδέονται με τα Μαθηματικά, θα το δείξω μετά.

Τα αγγλικά είναι η πιο διαδεδομένη γλώσσα. Πέντε – έξι λέξεις ξέρουμε όλοι μας, γι’ αυτό θα στηρίξω τα παραδείγματά μου σ’ αυτά.

1ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ. Η λέξη «Wednesday» (Τετάρτη) διαβάζεται «γουένζντεϊ».

Γιατί δεν διαβάζουμε «γουίντνεζντεϊ», δηλαδή ό,τι βλέπουμε, τα γράμματα με την σειρά που τα βλέπουμε; Το «e» δεν διαβάζεται «ι», σύμφωνα με το αγγλικό αλφάβητο; Γιατί τονίζουμε στο «έ» (γουένζντεϊ);

Η απάντηση είναι απλή: διότι έτσι μας έμαθε ο καθηγητής των Αγγλικών ότι διαβάζεται.

2ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ. Η λέξη «Sunday» (Κυριακή) διαβάζεται «σάντεϊ».

Γιατί δεν διαβάζεται «σγιούντεϊ»; Το «u» δεν διαβάζεται «γιου»;

Η απάντηση είναι ακριβώς η ίδια με πριν.

Τώρα φανταστείτε να με ρωτήσει ένας τουρίστας (όχι απαραίτητα Άγγλος, αλλά να ξέρει πέντε αγγλικά) τι μέρα είναι σήμερα και να του απαντήσω «σγιούντεϊ». Νομίζετε ότι θα καταλάβει; Δεν νομίζω…

3ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ. Ας βάλουμε και μια απλή φράση: «I want some water, please» (Θέλω λίγο νερό, παρακαλώ). Διαβάζεται «άι γουόντ σαμ γουότερ, πλιζ».

Να μην μπω στην διαδικασία να δώσω διάφορους «κορακίστικους» τρόπους ανάγνωσης…

Τα παραδείγματα μπορούν να επεκταθούν και σε διάφορους συμβολισμούς που υπάρχουν στις γλώσσες, σε γραμματικούς και συντακτικούς κανόνες κ.ο.κ. Ώρα είναι, όμως, να δούμε κάποιες αντιστοιχίες με την μαθηματική γλώσσα, ποιος είναι ο σωστός τρόπος ανάγνωσης και ποιος ο λανθασμένος.

Δεξιά βλέπετε δύο από τις βασικότερες και πιο γνωστές ταυτότητες της Άλγεβρας. Ένα σύνολο συμβόλων, που έχουν τον τρόπο τους να διαβάζονται. Νομίζω πως, αν βοηθήσω λέγοντας ότι το μικρό 2 που είναι ψηλά διαβάζεται «τετράγωνο» (αν δεν το θυμάστε από τα γυμνασιακά σας χρόνια), θα μπορέσετε να διαβάσετε

«παρένθεση, άλφα συν βήτα στο τετράγωνο, παρένθεση, ίσον άλφα στο τετράγωνο συν δύο άλφα βήτα συν βήτα στο τετράγωνο».

Καταλάβατε, όμως, τι είπατε; Καταλάβατε πού θα κολλήσει αυτό σε κάποια άσκηση και πώς θα σας βοηθήσει; Αν δεν καταλάβατε τι στην ουσία είπατε και πώς αυτό θα το αξιοποιήσετε σε κάποια άσκηση, τότε να ποιο είναι το πρόβλημα.

Κάθε γλώσσα, όπως είναι γνωστό, έχει τις ιδιοτροπίες της, κάποιους ειδικούς κανόνες δηλαδή, που δεν συναντώνται απαραίτητα σε άλλες (ή όλες τις) γλώσσες. Τα Μαθηματικά έχουν την εξής ιδιοτροπία: μπορούν και διαβάζονται και ανάποδα. Όταν, όμως, γίνει αυτό, το συμπέρασμα που προκύπτει δεν είναι πάντα το ίδιο μ’ αυτό που προκύπτει από την «κανονική» ανάγνωση.

Τι σημαίνει «κανονική» και τι «ανάποδη» ανάγνωση; Δεν είναι κάποιοι επίσημοι μαθηματικοί όροι, δεν είναι καν μαθηματικοί όροι, δεν θα δείτε σε κανένα βιβλίο Μαθηματικών «αυτό διαβάζεται κανονικά έτσι και ανάποδα έτσι». Αν υπάρχουν αυτές οι λέξεις, θα είναι εντός εισαγωγικών, ακριβώς για να δειχθεί ότι πρόκειται για -συγχωρήστε μου την λέξη- «μπακάλικο» τρόπο ανάγνωσης (δεν χρησιμοποιώ αυτήν την λέξη υποτιμητικά προς τους μπακάληδες, προς Θεού).

«Κανονική» γραφή – ανάγνωση, είναι όταν την διαβάζουμε από αριστερά προς τα δεξιά, όπως δηλαδή και τα κείμενα στις περισσότερες γλώσσες του κόσμου. «Ανάποδη» γραφή – ανάγνωση, είναι όταν παίρνουμε αυτό που είναι γραμμένο μετά το « = » και το γράφουμε πριν το « = » και αυτό που είναι μετά το « = » το γράφουμε πριν απ’ αυτό (το γνωστό «αριστερό» και «δεξί» μέλος της ισότητας ή το «πρώτο» και το «δεύτερο» μέλος της). Στις δύο προηγούμενες εικόνες γράφτηκαν οι ίδιες ταυτότητες, αλλά «από την ανάποδη». Για να μην ξοδέψουμε περισσότερο χώρο και χρόνο για το πώς θα διαβαστεί, απλά θα πω ότι διαβάζεται όπως και η «κανονική», δηλαδή «άλφα στο τετράγωνο… κ.λπ».

ΛΑΘΟΣ. Τόσο η «κανονική» όσο και η «ανάποδη» ανάγνωση είναι λανθασμένες. Όπως η λέξη «Sunday» δεν διαβάζεται «σγιούντεϊ», έτσι κι αυτή η ταυτότητα δεν διαβάζεται όπως παραπάνω σημειώθηκε.

Και πώς διαβάζεται; Να πώς:

«όταν έχουμε άθροισμα δύο τετραγώνων συν το διπλάσιο γινόμενο των βάσεων των τετραγώνων, τότε αυτό ισούται με το άθροισμα των βάσεων υψωμένο στο τετράγωνο».

Πάλι για οδηγίες χρήσης πρόκειται και όχι για μια αλληλουχία συμβόλων που διαβάζονται σύμφωνα με το «αλφαβητάρι» των Μαθηματικών.

Ποιος είναι ο σωστός τρόπος ανάγνωσης; Να ποιος:

«όταν εντός παρένθεσης έχω ένα άθροισμα, τότε συνεχίζω παίρνοντας το τετράγωνο του πρώτου, συν το τετράγωνο του δεύτερου, συν το γινόμενό τους διπλασιασμένο».

Δηλαδή, ο τύπος που είδαμε παραπάνω δεν είναι απλά μια αλληλουχία μαθηματικών συμβόλων, αλλά οδηγίες χρήσης. Επαναφέρω την λέξη «Sunday» (Κυριακή): διαβάζοντας «σάντεϊ» (το σωστό), αμέσως στο μυαλό έρχεται «η έβδομη μέρα της εβδομάδας». Αν, όμως, διαβάσω «σγιούντεϊ», τότε είναι σαν να διαβάζω την παραπάνω ταυτότητα «παρένθεση, άλφα συν βήτα στο τετράγωνο…»: δεν βγαίνει νόημα σε καμία περίπτωση.

Ένα ακόμη παράδειγμα θα χρησιμοποιήσω, στηριζόμενος στις διπλανές εικόνες. Πρόκειται για μία από τις πλέον συνηθισμένες ιδιότητες που εφαρμόζονται κατά τις πράξεις, αλλά και πάλι υπάρχει ο σωστός και ο λανθασμένος τρόπος ανάγνωσης. Και, μια και αναφέρθηκε ο «κανονικός» και ο «ανάποδος» τρόπος γραφής και ανάγνωσης, έγραψα την ιδιότητα με τους δύο αυτούς τρόπους.

Για να μην κουράσω περισσότερο, η ιδιότητα αυτή διαβάζεται:

• αν στην βάση ενός τετραγώνου υπάρχει πλην, τότε αυτό το πλην φεύγει (πρώτη εικόνα).

Αυτός ο τρόπος ανάγνωσης και αξιοποίησης της ιδιότητας είναι καλός, όταν έχουμε να κάνουμε με αριθμούς. Τότε η σωστή ανάγνωση συμπληρώνεται με την φράση «και το τετράγωνο πάει στον αριθμό».

• αν στην βάση ενός τετραγώνου υπάρχει συν, τότε μπορώ να βάλω στην βάση πλην (δεύτερη εικόνα).

Ο καλύτερος τρόπος ανάγνωσης (άρα και αξιοποίησης της ιδιότητας) είναι ο εξής:

επειδή οι παραστάσεις -α και α λέγονται αντίθετες, διαβάζουμε «δύο αντίθετες παραστάσεις έχουν ίσα τετράγωνα» ή «στην βάση ενός τετραγώνου μπορώ να βάλω την αντίθετη παράσταση».

Αυτός ο τρόπος ανάγνωσης και αξιοποίησης της ιδιότητας είναι καλός, όταν έχουμε να κάνουμε με αλγεβρικές παραστάσεις και όχι μόνο με αριθμούς.

Ας συνοψίσουμε επομένως:

• τα Μαθηματικά είναι Γλώσσα, όπως τα ελληνικά, τα αγγλικά κ.ο.κ. Άρα, έχουν το «αλφάβητό» τους, την «γραμματική» και το «συντακτικό» τους. Προσέχετε τους καθηγητές σας όταν σας μαθαίνουν σωστά αυτήν την γλώσσα και συνειδητοποιήστε νωρίς, ότι μαθαίνετε μια νέα γλώσσα, με τους κανόνες και τις ιδιοτροπίες της. Τα Μαθηματικά δεν είναι x και y και τετράγωνα και ρίζες, είναι πολλά περισσότερα.

• διαβάζοντας ό,τι βλέπουμε, δεν καταλαβαίνουμε τι διαβάζουμε, άρα πού και πώς χρησιμοποιείται. Έτσι τα Μαθηματικά γίνονται δύσκολα και ακατανόητα. Το ίδιο θα γίνονταν και τα αγγλικά, αν τα διαβάζαμε όπως εμείς θέλαμε ή αντιλαμβανόμασταν. Το αποτέλεσμα θα ήταν μια προσωπική γλώσσα, «κορακίστικη», άρα ακαταλαβίστικη από τους υπόλοιπους (ακόμη κι από εμάς τους ίδιους ίσως). Το συμπέρασμα του βιβλικού μύθου του Πύργου της Βαβέλ είναι ακριβώς αυτό…

• τα Μαθηματικά γράφονται «απ’ την καλή» και «απ’ την ανάποδη», διαβάζονται «κανονικά», διαβάζονται κι «ανάποδα». Έτσι, όταν δείτε έναν τύπο των Μαθηματικών (σε βιβλίο, σε φυλλάδιο, στον πίνακα, σε γκράφιτι σε κάποιον τοίχο) γραμμένο μ’ έναν τρόπο, μπείτε στον κόπο να τον γράψετε «απ’ την ανάποδη», δηλαδή φέρνοντας αυτά που είναι δεξιά στην αριστερή μεριά και αυτά που είναι αριστερά στην δεξιά μεριά. Ζητάτε το αυτό από τους καθηγητές σας, να σας το γράφουν και από την «καλή» και από την «ανάποδη», να σας το εξηγούν και «κανονικά» και «ανάποδα», αν δεν το κάνουν ήδη. Ένας τύπος των Μαθηματικών, μια ιδιότητα, ένας ορισμός, δεν λέει μόνο ένα πράγμα κι αυτό συμβαίνει σε πάρα πολύ μεγάλο ποσοστό. Μπορεί να πει και δύο και τρία και τέσσερα πράγματα. Ζητάτε να τα μαθαίνετε και, όταν σας τα εξηγούν, να τα προσέχετε.

Πάντα να προσέχετε κατά την διδασκαλία !

Η διδασκαλία στην αίθουσα συνιστά τουλάχιστον το 80% της διαδικασίας κατανόησης και εκμάθησης των Μαθηματικών (και όχι μόνο βέβαια). Η σχέση με τα Μαθηματικά αρχίζει και χαλάει, όταν ο μαθητής δεν είναι συγκεντρωμένος και δεν παρακολουθεί με προσοχή ό,τι λέει ο καθηγητής των Μαθηματικών. Ο καθηγητής αποτελεί την καρδιά της διδασκαλίας και δεν αντικαθίσταται από κανένα βιβλίο, κανένα φυλλάδιο, κανένα βίντεο. Η διά ζώσης διδασκαλία είναι απλά αναντικατάστατη.

Όταν ο καθηγητής είναι στον πίνακα και εξηγεί το μάθημα της ημέρας, όταν λύνει μία άσκηση ή όταν λύνει μία απορία, είναι πάνω σε μια φανταστική θεατρική σκηνή και ερμηνεύει έναν ρόλο. Όχι, όμως, όπως γνωρίζουμε την ηθοποιία, δηλαδή δεν υποκρίνεται ότι είναι κάποιος χαρακτήρας ενός σεναρίου. Είναι ο εαυτός του και προσπαθεί να μεταδώσει τις γνώσεις του.

Χρησιμοποιεί τα χέρια του όχι μόνο για να γράφει, όσο για να υποδεικνύει, για να τονίζει, για να δείχνει τον βηματισμό, να κρατάει τον ρυθμό. Μπορεί κανείς να πει ότι είναι και ο μαέστρος της «ορχήστρας» των μαθηματικών οργάνων της άσκησης.

Χρησιμοποιεί τον Λόγο, χρωματίζει την φωνή του («Προσέξτε το αυτό», για παράδειγμα), κάνει παύσεις, σας κοιτάει στα μάτια για να δει αν τον παρακολουθείτε, αν καταλαβαίνετε αυτά που σας λέει.

Την ώρα που λύνει μία άσκηση, παρακολουθείτε τον συγχρονισμό στον λόγο και την γραφή του. Την στιγμή που θα πει «Και εδώ κάνουμε αυτό», στην λέξη «εδώ» το χέρι του είναι στο σημείο που πρέπει να δείτε. Αν εκείνη την στιγμή δεν παρακολουθείτε, αυτό το «εδώ» έχει χαθεί κι εσείς δεν θα καταλαβαίνετε μετά.

Την ώρα που λέει «Κι από εδώ προκύπτει αυτό», το χέρι του έχει υποδείξει ποιο είναι το «από εδώ» και ποιο είναι το «προκύπτει αυτό». Αν δεν τον βλέπετε, χάνετε εκείνη την πολύτιμη εξήγησή του, που αργότερα για σας θα γίνει πρόβλημα. Όταν θα πείτε «Δεν την κατάλαβα την άσκηση» ή «Δεν κατάλαβα πώς το κάνατε αυτό», σκεφθείτε ότι αυτό μπορεί να οφείλεται στο ότι δεν τον βλέπατε, δεν τον παρακολουθούσατε την ώρα που αυτός εξηγούσε.

Όσο καλογραμμένο κι αν είναι ένα βιβλίο, δεν μπορεί να μεταφέρει την διδασκαλία στην αίθουσα. Οι προφορικές εξηγήσεις δεν μπορούν να μεταφερθούν -αυτούσιες ή προσαρμοσμένες- σε ένα βιβλίο. Γιατί; Διότι, αν αυτό ήταν εφικτό, τα βιβλία θα είχαν πολλαπλάσιο όγκο. Σκεφτείτε, αν θέλετε δοκιμάστε το κιόλας, να μεταφέρετε στο χαρτί 3 λεπτά ομιλίας. Θα εκπλαγείτε από την έκταση του κειμένου.

Γι’ αυτό, προτιμάτε πρώτα να βλέπετε τι κάνει και γιατί και μετά να γράφετε στο τετράδιό σας. Ζητήστε του να σας δίνει μετά τον χρόνο να μεταφέρετε στο τετράδιο ό,τι έγραψε στον πίνακα. Τότε θα δείτε πόσο θα βελτιώσετε την σχέση σας με τα Μαθηματικά, πόσο καλύτερα θα τα καταλαβαίνετε και πώς η δυσκολία τους θα γίνεται μικρότερη. Δεν νομίζω να υπάρχει καθηγητής που θα σας πει «Τα Μαθηματικά είναι εύκολα». Σίγουρα, όμως, θα σας πει «Είμαι εδώ για να βοηθήσω, για να τα κάνω κατανοητά, για να μην σας φαίνονται τόσο δύσκολα».

Θαρρείτε ότι οι καθηγητές τα ξέρουμε όλα; Θαρρείτε ότι εμείς δεν συναντούμε δυσκολίες στα Μαθηματικά;

Φυσικά και δεν τα ξέρουμε όλα, φυσικά και εξακολουθούμε να συναντούμε δυσκολίες. Είναι ανθρώπινο.

Στο πρώτο μέρος αναφέρθηκαν τα πρώτα λάθη που γίνονται και τα οποία συνοψίζονται σε δύο σημεία:

Α.  όταν ο μαθητής δεν προσέχει την ώρα που ο καθηγητής του εξηγεί κάποιο θέμα (θεωρία ή άσκηση).

Β.  στον λάθος τρόπο ανάγνωσης των μαθηματικών κειμένων και συμβολισμών.

Αυτά γίνονται πριν επιστρέψει ο μαθητής στο σπίτι του και μείνει μόνος με το «θηρίο». Πώς, επομένως, αντιμετωπίζεται το «θηρίο», χωρίς την παρουσία του καθηγητή;

Αυτό θα είναι το θέμα του δεύτερου μέρους του θέματος «Πώς διαβάζω Μαθηματικά;».

Γιούπιιιι ! Τέλος το σχολείο για σήμερα !!

Η πιο χαρούμενη στιγμή στην ημέρα ενός μαθητή; Θα ‘λεγα πως σίγουρα είναι (σε παγκόσμιο επίπεδο). Στις μικρότερες ηλικίες (Δημοτικό), σημαίνει την αρχή άλλων δραστηριοτήτων, σαφώς πιο ευχάριστων. Όμως, όπως σημειώθηκε στο πρώτο μέρος αυτού του άρθρου, εστιάζουμε την προσοχή μας στους μαθητές Γυμνασίου (οπότε και δημιουργείται το πρώτο ρήγμα στην σχέση τους με τα Μαθηματικά) και, κατ’ επέκταση, στους μαθητές Λυκείου. Ούτε εδώ υπάρχει σκοπός απόδοσης ευθυνών, αλλά επισήμανσης των λαθών που γίνονται και πώς αυτά μπορούν να προληφθούν και διορθωθούν.

Μετά το σχολείο, τι περιμένει τον μαθητή και πώς θα το αντιμετωπίσει;

Στο Γυμνάσιο -και πάντα αναφερόμενοι στα Μαθηματικά- ο μαθητής αρχίζει να χτίζει μια νέα πραγματικότητα: ασκήσεις για το σπίτι, ενδεχομένως και φροντιστήρια (άρα και από εκεί ασκήσεις). Σίγουρα όχι ό,τι καλύτερο για ένα παιδί στην εφηβεία, αφού άλλα θέλει να κάνει (π.χ. αθλητισμό, μουσική, παρέα με τους φίλους του) και όχι να ψάχνει τον άγνωστο x… Καλώς ή κακώς όμως, τα πράγματα έτσι αρχίζουν και διαμορφώνονται, με μέρες γεμάτες από το πρωί ως το βράδυ με ποικίλες δραστηριότητες και υποχρεώσεις, οπότε ας δούμε τι πρέπει να γίνει για ν’ ανταποκριθεί ο μαθητής σωστά σ’ ένα τόσο φορτωμένο πρόγραμμα.

1ο βήμα: ολιγόωρη ξεκούραση.

Μετά από μία μέρα γεμάτη πληροφορίες από διαφορετικά γνωστικά αντικείμενα, είναι αναγκαία μία σύντομη παύση για ανασύνταξη των δυνάμεων. Αν αυτή δεν είναι εφικτή με το πέρας των σχολικών μαθημάτων (π.χ. λόγω κάποιου φροντιστηρίου που πρέπει να πάει ο μαθητής αμέσως μετά το τέλος του σχολείου), η ξεκούραση αναβάλλεται για λίγο.

Ας πάρουμε το ευνοϊκό σενάριο: μετά το σχολείο δεν υπάρχει άμεσα κάποια υποχρέωση.

Δεδομένου ότι θα χαζολογήσουμε λίγο με τους συμμαθητές μας μετά το σχολείο, θα χάσουμε κάποιον χρόνο και κατά την επιστροφή μας στο σπίτι (π.χ. στο λεωφορείο), ένα μέρος αυτής της ολιγόωρης ξεκούρασης έχει γίνει…

…αλλά δεν είναι αρκετή. Το μεσημεριανό φαγητό είναι μία ακόμη όμορφη στιγμή της μέρας, αλλά κι αυτή περνάει γρήγορα (ειδικά αν υπάρχει και το αγαπημένο μας φαγητό στο πιάτο). Να μην δούμε και τι γίνεται στο Facebook; (όχι ότι δεν το βλέπαμε κατά την διάρκεια της μέρας, ε;) Ίσως και λίγη τηλεόραση παράλληλα; Γιατί όχι και μουσική;

Μακάρι να συνεχίζονταν αυτό για το υπόλοιπο της μέρας, αλλά δεν μπορεί. Όλα όσα προανέφερα, διαρκούν το λιγότερο μία ώρα (θα ‘βαζα μιάμιση ώρα τουλάχιστον). Ο χρόνος είναι υπεραρκετός και πλέον πρέπει να σηκώσουμε τα μανίκια και να ξαναπιάσουμε δουλειά.

Στην περίπτωση του μη ευνοϊκού σεναρίου τώρα: μετά το σχολείο υπάρχει άλλο μάθημα (π.χ. φροντιστήριο, ωδείο, αθλητισμός).

Όπως προείπα, η ξεκούραση αναβάλλεται. Αν δε υπάρχουν διαδοχικές υποχρεώσεις, ίσως ν’ αργήσει ακόμη περισσότερο.

Τι κάνουμε τότε; Αυτό θα φανεί στο 2ο βήμα.

2ο βήμα: ορθή κατανομή χρόνου και ενέργειας.

Αυτό που ονομάζουμε «προγραμματισμό». Εντάξει, παίρνουμε πρόγραμμα από το σχολείο, παίρνουμε πρόγραμμα από τις εξωσχολικές μας δραστηριότητες, άρα έχουμε μπει σε πρόγραμμα.

Όχι, δεν έχουμε μπει. Έχουμε δεσμεύσει (ή μάλλον, άλλοι μας έχουν δεσμεύσει) κάποιες ώρες της ημέρας, αλλά δεν έχουμε μπει ακόμη σε πρόγραμμα, δεν έχουμε κάνει προγραμματισμό δηλαδή. Το να πω «Μέχρι τις 2 έχω σχολείο, 2-4 έχω Μαθηματικά στο φροντιστήριο, 4-5:30 έχω αγγλικά» και πάει λέγοντας, δεν είναι προγραμματισμός. Δεν έχουμε πιάσει ακόμη να κατανείμουμε ορθά τον χρόνο και την ενέργειά μας.

Προγραμματισμός σημαίνει πώς θ’ αξιοποιηθούν οι «κενές ώρες», δηλαδή οι ώρες που δεν υπάρχει κάποια εξωσχολική υποχρέωση. Πόση ώρα θα ξεκουραστώ, τι θα κάνω 4-6 που δεν έχω κάποιο μάθημα, με ποια σειρά θα διαβάσω και θα προετοιμαστώ για την επόμενη μέρα, τι ώρα θα κοιμηθώ.

Επειδή το πρόγραμμα Δευτέρας – Παρασκευής είναι -σχεδόν πάντα- φορτωμένο, ο σωστός προγραμματισμός ξεκινάει από το Σάββατο και την Κυριακή. Ίσως προκαλεί έκπληξη αυτό που λέω, οπότε ας εξηγήσω γιατί θεωρώ ότι τότε είναι η αρχή του σωστού προγραμματισμού. Βέβαια, το 1ο και 2ο βήμα δεν αφορούν άμεσα στα Μαθηματικά και ίσως ψάχνετε ανάμεσα στις γραμμές, πού εδώ απαντάται το ερώτημα «Πώς διαβάζω Μαθηματικά;». Λίγη υπομονή και θα φτάσουμε και σ’ αυτό.

Το Σαββατοκύριακο υπάρχει περισσότερος διαθέσιμος χρόνος. Όσος απ’ αυτόν δεν αξιοποιείται σωστά, τόσο πιο πιεστικό γίνεται το πρόγραμμα της εβδομάδας. Ανάλογα, όσος αξιοποιηθεί σωστά, τόσο ελαφρύτερο γίνεται το πρόγραμμα της εβδομάδας. Για να μην τρέχετε, λοιπόν, και να μην προλαβαίνετε, αξιοποιήστε σωστά τις ώρες που παρέχει το διήμερο αυτό (για μένα, είναι το χρυσό διήμερο του σωστού προγραμματισμού). Μάλιστα, αν από την αρχή της σχολικής χρονιάς γίνει αυτό, θα δείτε -με ευχάριστη έκπληξη- πώς το πενθήμερο Δευτέρα – Παρασκευή δεν θα σας είναι τόσο κουραστικό.

Προετοιμαστείτε για τις μαθητικές σας υποχρεώσεις μέχρι και την Τετάρτη. Ναι, μπορείτε να το κάνετε αυτό μέσα στο Σαββατοκύριακο. Τουλάχιστον για τις σχολικές σας υποχρεώσεις, πιστεύω ότι μπορείτε άνετα να το κάνετε. Πώς είμαι τόσο σίγουρος; Το κατάφεραν πολλοί πριν από σας, που είχαν κι αυτοί τις δικές τους εξωσχολικές υποχρεώσεις, μπορείτε και σεις.

Προσέξτε το εξής όμως: η βόλτα του σαββατόβραδου είναι κι αυτή μέσα στο πρόγραμμα (διαφωνώ με όσους την αφαιρούν), αλλά με μέτρο. Αν γυρίσετε ξημερώματα στο σπίτι, πάει η μισή Κυριακή (τουλάχιστον), οπότε χαλάει ο προγραμματισμός. Εντάξει, καμιά φορά θα το τραβήξουμε λίγο παραπάνω. «Καμιά φορά» όμως, όχι «κάθε φορά». Αν την Κυριακή ξυπνήσετε κατά τις 12, για κάνα δίωρο θα είστε ακόμη σαν ζαλισμένα κοτόπουλα, οπότε πάει η δεύτερη χρυσή μέρα.

Θα κλείσω την αναφορά μου στον σωστό προγραμματισμό, με το εξής:

είτε πρόκειται για την μελέτη Δευτέρας – Παρασκευής είτε για το Σαββατοκύριακο, πρώτα ξεκινήστε από τα «δύσκολα» μαθήματα και μετά συνεχίστε με τα «εύκολα» (τα εισαγωγικά, διότι οι χαρακτηρισμοί είναι υποκειμενικοί).

Σε ό,τι αφορά στα Μαθηματικά (για ν’ αρχίσουμε σιγά σιγά να προσεγγίζουμε το θέμα μας), βάλτε τα σαν πρώτο ή δεύτερο μάθημα που θα μελετήσετε. Ο λόγος είναι «ενεργειακός», δηλαδή ξεκινώντας το διάβασμα μ’ ένα «εύκολο» μάθημα, ναι μεν δεν συναντώνται δυσκολίες, καταναλώνεται όμως ενέργεια. Αν συνεχιστεί αυτό και σε δεύτερο «εύκολο» μάθημα (με το σκεπτικό «να τελειώνουμε πρώτα με τα εύκολα»), τότε η κόπωση αυξάνεται (να μην ξεχνάμε και την κόπωση όλης της μέρας, έτσι;), οπότε όταν έρθει η ώρα για τα «δύσκολα» (στην προκειμένη περίπτωση, τα Μαθηματικά), δεν έχουμε δύναμη και είτε τα παρατάμε είτε τα «πασαλείβουμε».

ΛΑΘΟΣ 1ο. Ελλειπής προετοιμασία (ή και καθόλου προετοιμασία).

Σχεδόν το σύνολο της έκτασης και των δύο μερών αυτού του άρθρου, αφιερώθηκε στην σωστή προετοιμασία. Όταν αυτή δεν γίνεται ή «πασαλείβεται», το αποτέλεσμα από την ενασχόληση με τις ασκήσεις είναι προδιαγεγραμμένο (να το πω;). Η προετοιμασία είναι το πιο σημαντικό μέρος και πρέπει να εκτελείται με σοβαρότητα απ’ όλους: από τους «καλούς» μαθητές (ώστε ν’ αποδώσουν αυτά που μπορούν και να γίνουν ακόμη καλύτεροι) και τους «αδύναμους» μαθητές (ώστε να βελτιώσουν τις επιδόσεις τους και να γίνουν καλύτεροι επίσης). Αν, χάριν της «υποχρεώσης», πάτε κατ’ ευθείαν στις ασκήσεις, χωρίς να προετοιμαστείτε σωστά, μην απογοητευθείτε από το αποτέλεσμα. Νομοτελειακά, ξέρουμε ποιο θα είναι…

Η ΣΩΣΤΗ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ. Κατάλληλη προετοιμασία, με βάση όσα προαναφέρθηκαν.

Η στιγμή που ερχόμαστε αντιμέτωποι με το «θηρίο».

Κι έτσι ερχόμαστε «στο ψητό». Η σωστή προετοιμασία είναι ένα «κλειδί» που θ’ ανοίξει πολλές πόρτες. Αφού έχουν γίνει όσα αναφέρθηκαν παραπάνω, η ώρα που ερχόμαστε αντιμέτωποι με το «θηρίο» έφτασε.

«Έχω πάρει τις ανάσες μου, έχω κάνει καλό προγραμματισμό, τώρα πρέπει να διαβάσω Μαθηματικά, να τα καταλάβω και να λύσω ασκήσεις. Πώς θα γίνει αυτό;».

Όχι με κάποιον μαγικό τρόπο. Κάθε μάθημα έχει τα «κουμπιά» του, έχει τον σωστό τρόπο προσέγγισής του, έχει το σκεπτικό του. Πολύ περισσότερο τα Μαθηματικά (χωρίς να θέλω ν’ αδικήσω τα υπόλοιπα μαθήματα), που -όσο να ‘ναι- είναι πιο… καταλαβαίνετε. Η σειρά που θα δείτε στην συνέχεια είναι αυτή που φέρνει τα καλύτερα αποτελέσματα. Τηρήστε την, αφήστε την να δουλέψει για κάποιο χρονικό διάστημα και απολαύστε τα θετικά της αποτελέσματα.

Α. Διαβάζετε προσεκτικά την θεωρία, τις παρατηρήσεις και εξηγήσεις

και τα συνοδευτικά παραδείγματα.

Δεν γίνεται ν’ ασχοληθεί κανείς με Μαθηματικά, χωρίς να δημιουργήσει σωστές βάσεις από την θεωρία. Όμως, όπως αναφέρθηκε στο πρώτο μέρος του άρθρου αυτού (δες το εδώ), δεν διαβάζουμε απαραίτητα ό,τι βλέπουμε. Ο καθηγητής εξηγεί πώς διαβάζεται στην μαθηματική γλώσσα κάτι που αναφέρει η θεωρία και πώς αυτό αξιοποιείται. Αυτό ακριβώς είναι που πρέπει να προσέχετε πολύ την ώρα του μαθήματος, ώστε όταν μείνετε μόνοι σας με το βιβλίο και το τετράδιο, να θυμάστε τις εξηγήσεις που σας δόθηκαν.

Είτε πρόκειται για το σχολικό βιβλίο είτε για εξωσχολικό βιβλίο είτε για φυλλάδια σημειώσεων που παίρνετε από τον καθηγητή ή βρίσκετε στο διαδίκτυο, έχετε υποστήριξη σε εξηγήσεις για όσα θα διαβάσετε. Διαβάστε τα προσεκτικά. Τα Μαθηματικά δεν διαβάζονται σαν αθλητική εφημερίδα ή περιοδικό μόδας. Αν τα προσεγγίσετε έτσι, θα τα χάσετε.

Επειδή σε ελάχιστες περιπτώσεις η μελέτη στηρίζεται μόνο στο σχολικό βιβλίο, να θυμάστε ότι ο καθηγητής σάς δίνει επιπλέον σημειώσεις για έναν και μόνο λόγο: για να έχετε βοήθεια, όταν μείνετε μόνοι σας και ασχοληθείτε με όσα σας διδάσκει. Η σύνταξη συνοδευτικών σημειώσεων, δεν είναι ούτε εύκολη ούτε ξεκούραστη εργασία και ο καθηγητής σας δεν θα δώσει τέτοιο συνοδευτικό υλικό με σκοπό να σας βασανίσει. Εκμεταλλευθείτε την παροχή αυτής της βοήθειας, διότι δίνεται για δικό σας καλό. Μέσω αυτών, ο καθηγητής προσπαθεί να είναι δίπλα σας ακόμη και μετά το πέρας του μαθήματος στην αίθουσα.

Β. Διαβάζετε προσεκτικά τις κατευθύνσεις για τις ασκήσεις (μεθοδολογία).

Κάποιοι συνάδελφοι ίσως έχουν ενστάσεις ως προς αυτό που αποκαλείται «μεθοδολογία». Δεκτές, αλλά δεν είναι του παρόντος. Είτε συμφωνούμε είτε διαφωνούμε, μεθοδολογία για τις ασκήσεις δίνεται, υπάρχει. Είτε πούμε «κατευθύνσεις για τις ασκήσεις» είτε «μεθοδολογία», η ουσία είναι η ίδια πάνω – κάτω.

Σε έναν πολύ σημαντικό βαθμό, η μεθοδολογία είναι το «λυσάρι» των ασκήσεων. Δεν είναι λίγες οι ασκήσεις εκείνες που έχουν σταθερό θέμα (ζητούμενο, δεδομένο) και η αντιμετώπισή τους γίνεται με συγκεκριμένα βήματα. Έτσι, καταλαβαίνοντας κανείς τα βήματα αυτά (και όχι απλά μαθαίνοντάς τα ή αποστηθίζοντάς τα, αυτό δεν προσφέρει μακροπρόθεσμη βοήθεια), θέτει καλά θεμέλια για να χτίσει σ’ αυτά την αυτοπεποίθησή του στα Μαθηματικά. Άλλες φορές, η μεθοδολογία χαράσσει έναν βασικό δρόμο για την αντιμετώπιση κάποιων ασκήσεων, αφήνοντας μερικά «παραθυράκια» όμως. Καλή η μεθοδολογία, αλλά δεν μπορεί να «μαντρώσει» όλες τις ασκήσεις, όλες τις πιθανές περιπτώσεις. Μόνο ο Αίολος είχε το προνόμιο να τιθασεύει τους ανέμους και να τους κρατά κλεισμένος στον ασκό του…

Η μεθοδολογία συνήθως διατυπώνεται, «Όταν ζητείται αυτό, τότε κάνουμε αυτό και μετά αυτό και μετά αυτό…». Άλλες φορές, «Όταν δίνεται αυτό, τότε κάνουμε αυτό κι αυτό…». Για να απαλύνω το κάπως βαρύ κλίμα της κατήχησης που υπάρχει στο άρθρο, δείτε την μεθοδολογία σαν «Συμβουλές επιβίωσης στην μάχη με το θηρίο». Αφού πρέπει να παλέψεις με το «θηρίο», να μην έχεις και μερικά «όπλα» στα χέρια σου; Να μην ξέρεις πώς να το προσεγγίσεις για να το νικήσεις ή -τελοσπάντων- να σταθείς επάξια έναντί του; Το θέλετε ακόμη πιο απλά; Μερικά θέματα στις ασκήσεις στηρίζονται σε συγκεκριμένα βήματα: τα κάνεις προσεκτικά, σιγά σιγά, ένα προς ένα και λύνεις την άσκηση. Θα ένιωθες άσχημα αν τα έκανες και έλυνες και μια και δυό και περισσότερες ασκήσεις; Δεν νομίζω…

Γ. Διαβάζετε προσεκτικά τις λυμένες ασκήσεις.

Μ’ όποιον τρόπο κι αν τις δείτε, δηλαδή λυμένες από τον καθηγητή σας (στο σχολείο ή το φροντιστήριο) ή από κάποιοι βιβλίο ή φυλλάδιο, οι λυμένες ασκήσεις προσφέρουν πολύ μεγάλη βοήθεια και είναι κρίμα να την αφήνετε αναξιοποίητη. Δεν θα ‘ταν υπερβολή, αν έλεγα ότι είναι αμαρτία να την αφήνετε αναξιοποίητη τέτοια βοήθεια. Ειδικά με τον νέο μεγάλο σας σύμμαχο, που λέγεται διαδίκτυο, πράγματι είναι αμαρτία να μην βελτιώνετε σημαντικά τις επιδόσεις σας στα Μαθηματικά με τόσες λυμένες ασκήσεις που διατίθενται. Διαβάστε αυτό το άρθρο για να δείτε προτάσεις για το πώς θ’ αξιοποιήσετε σωστά την βοήθεια που υπάρχει δωρεάν στο διαδίκτυο.

Οι λυμένες ασκήσεις είναι χρυσός στην μελέτη των Μαθηματικών. Δεν συνιστώ να τις ξαναλύνετε (μην ανησυχείτε, κι από άλυτες ασκήσεις… να ‘φαν κι κότες), αλλά να τις μελετάτε πολύ προσεκτικά ακολουθώντας τα εξής στάδια:

1ο ΣΤΑΔΙΟ. Διαβάστε προσεκτικά τι διατυπώνεται στην άσκηση, ποιο είναι το ζητούμενο (πάνω από το 80% των ασκήσεων λύνονται με βάση το τι ζητείται) και τι δίνεται.

2ο ΣΤΑΔΙΟ. Παρακολουθήστε τα βήματα της λύσης που έχετε μπροστά σας. Αν δεν εξηγείται τι γίνεται και γιατί, γράψτε κάπου την απορία σας και ρωτήστε τον καθηγητή σας. Αν καταλαβαίνετε τι και γιατί γίνεται, ακόμη καλύτερα. Σ’ αυτό το στάδιο μελέτης της λύσης, μην δίνετε μεγάλη βαρύτητα στο πώς ακριβώς διατυπώνεται η λύση, αλλά στα βήματά της.

3ο ΣΤΑΔΙΟ. Αφού έχετε ολοκληρώσει την πρώτη ανάγνωση της λύσης, ξαναδιαβάστε την, αυτήν την φορά όμως επαναλαμβάνοντας και διακρίνοντας νοερά τα βήματά της («Από εδώ μέχρι εδώ κάνουμε αυτό, μετά κάνουμε αυτό» κ.ο.κ.) και δίνοντας περισσότερη προσοχή και βαρύτητα στις διατυπώσεις (εκφράσεις, αιτιολογήσεις) που υπάρχουν. Το θέμα δεν είναι απλά να ξέρουμε πώς λύνεται η άσκηση, αλλά και πώς διατυπώνεται η λύση της, που είναι η σκέψη μας, τα βήματα στην ουσία. Είναι εντελώς λανθασμένη η αντίληψη ότι «τα Μαθηματικά είναι x και y: άμα ξέρεις να δουλεύεις με x και y, το ‘χεις». Η αλήθεια είναι εντελώς διαφορετική, αλλά αυτό δίνει τροφή για ένα άλλο άρθρο ίσως, στο οποίο θ’ αναπτυχθεί η φιλοσοφία των Μαθηματικών. Οψόμεθα.

Πώς αντιμετωπίζουμε σωστά τις ασκήσεις.

Μαθηματικά χωρίς ασκήσεις, δεν νοούνται. Η κατάληξη όλων των παραπάνω, είναι η ενασχόληση με την επίλυση ασκήσεων.

Ασκήσεις δεν μπορεί κανένας να σας υποχρεώσει να λύσετε. Όμως, όσο τις αποφεύγετε, τόσο χειροτερεύει η σχέση σας με τα Μαθηματικά (κι αν αυτό μέχρι κάποιο σημείο δεν σας «καίει» και τόσο, έρχεται η στιγμή -ναι, για τις εξετάσεις μιλάω- που σας «καίει» και σας «τσουρουφλίζει»). Ο καθηγητής σάς δίνει ασκήσεις, όχι επειδή θέλει να σας κουράσει – ταλαιπωρήσει (ακόμη και βασανίσει, όπως κακώς πιστεύετε κάποιες φορές), αλλά επειδή ασκούμενοι θα γίνετε καλύτεροι.

Δείτε το κι έτσι: γιατί όλοι οι αθλητές επενδύουν άπειρες ώρες σε προπονήσεις; Αφού ο αγώνας θα διαρκέσει μερικά λεπτά (ή και δευτερόλεπτα, αν πρόκειται για δρομείς μικρών αποστάσεων για παράδειγμα), γιατί νωρίτερα χύνουν τόνους ιδρώτα στις προπονήσεις; Αφού ο αθλητής είναι καλός και την νίκη την έχει σίγουρη, γιατί τόσος κόπος πριν τον αγώνα; Μήπως διότι η νίκη ποτέ δεν είναι σίγουρη; Μήπως επειδή στις προπονήσεις (ασκήσεις λέγονται στα Μαθηματικά) πάντα εντοπίζονται λάθη, που ίσως την κρίσιμη στιγμή (αγώνας) αποβούν μοιραία; Ειδικά στα ατομικά αθλήματα, τα λάθη δεν μπορούν να «σωθούν» από κάποιο μέλος της ομάδας, αφού δεν υφίσταται ομάδα. Ένας κάνει το λάθος, ένας επωμίζεται την ήττα. Ένας δούλεψε σωστά και σκληρά, ένας γεύεται την νίκη.

Έτσι είναι και οι ασκήσεις στο ατομικό άθλημα των Μαθηματικών. Αυτός είναι ο σκοπός τους και γι’ αυτό δίνονται από τους καθηγητές. Στους μαθητές μου λέω: «Θες να κάνεις ασκήσεις; Εσύ θα κερδίσεις, είτε είναι σωστές είτε έχουν λάθη. Μάθε απ’ αυτά που έκανες σωστά, μάθε ακόμη περισσότερα απ’ αυτά που δεν έκανες σωστά. Δεν θες να κάνεις ασκήσεις; Εσύ θα χάσεις, διότι δεν θα μάθεις και, την κρίσιμη ώρα, σίγουρα δεν θ’ ανταποκριθείς στα θέματα. Ευθύνη δεν φέρω τότε, απλά και ξεκάθαρα. Ασκήσεις δεν αναθέτω για να σε βασανίσω, αλλά για να σε βοηθήσω να βελτιωθείς».

Επειδή όσα αναφέρθηκαν μέχρι στιγμής, αλλά και στο πρώτο μέρος του άρθρου, έχουν ως κατάληξη την ενασχόληση με την επίλυση ασκήσεων, αναγκαίο είναι να επισημανθούν κάποια σημαντικά λάθη που γίνονται και πώς αυτά μπορούν ν’ αποφευχθούν.

ΛΑΘΟΣ 2ο. Αντιμετωπίζοντας τις ασκήσεις σαν αγγαρεία.

Το είπα παραπάνω, το επαναλαμβάνω διότι έχει αξία: οι ασκήσεις δεν είναι υποχρεωτικές, αφού κανένας δεν μπορεί να σας υποχρεώσει να λύσετε ασκήσεις. Ασκήσεις οι καθηγητές δεν σας δίνουμε για να σας βασανίσουμε, αλλά για να βελτιωθείτε. Όσο δεν ασχολείστε με ασκήσεις, τόσο μεγαλώνετε το χάσμα (μέχρι που έρχεται ένα χρονικό σημείο, που πλέον το χάσμα δεν γεφυρώνεται).

Ασκήσεις πρέπει οι ίδιοι να επιδιώκετε να κάνετε και να δίνετε στον καθηγητή σας να ελέγξει. Ξέρω ότι αυτό ακούγεται (μάλλον είναι) ουτοπικό, αλλά μόνο κέρδη θ’ αποκομίσετε. Όταν ο καθηγητής δεν δίνει ασκήσεις, αυτό δεν πρέπει να σημαίνει «λούφα» για σας, μα το ακριβώς αντίθετο: περισσότερος χρόνος για την σωστή προετοιμασία.

Η ΣΩΣΤΗ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ. Ασκήσεις κάνετε για δικό σας καλό. Το πόσο εύκολα ή δύσκολα θα σας βγουν, εξαρτάται ΚΑΙ από την θετική στάση σας έναντί των. Αυτό είναι θέμα ψυχολογίας και ο καθηγητής μπορεί ελάχιστα να βοηθήσει, αν υψώσετε τείχος και το υπερασπίζεστε με σθένος. Το τείχος αυτό νομίζετε ότι σας προστατεύει, μα κάνει το αντίθετο στην πραγματικότητα.

ΛΑΘΟΣ 3ο. Διαβάζοντας την εκφώνηση, σαν να πρόκειται για κείμενο αθλητικής εφημερίδας ή περιοδικού μόδας.

Ακόμη και σωστή προετοιμασία να έχει γίνει, στον «στίβο» των ασκήσεων υπάρχουν νέα τερτίπια. Το βασικότερο, ο τρόπος ανάγνωσης της εκφώνησης της άσκησης. Αν η άσκηση δεν διαβαστεί με τον σωστό τρόπο, είτε δεν θα καταλάβουμε τι λέει (τι δίνει, τι ζητάει) είτε θα παρερμηνεύσουμε αυτά που λέει. Σε κάθε περίπτωση, μπαίνουμε «με το αριστερό» και η γρουσουζιά παραμονεύει.

Η ΣΩΣΤΗ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ. Η εκφώνηση μιας άσκησης διαβάζεται αργά, πολύ αργά, λέξη προς λέξη, σύμβολο προς σύμβολο. Κάθε τι που είναι γραμμένο, έχει τον λόγο που γράφεται. Η γρήγορη ανάγνωση, ενίοτε και η επιλεκτική ανάγνωση, οδηγεί είτε σε λάθη είτε σε αδυναμία επίλυσης της άσκησης. Επειδή η γλώσσα των Μαθηματικών είναι εξαιρετικά περιεκτική, κάθε λέξη μετράει, διότι μπορεί να οδηγήσει σε μια αλληλουχία κινήσεων που στηρίζονται είτε στην θεωρία είτε στην μεθοδολογία είτε και στα δύο.

ΛΑΘΟΣ 4ο. Δίνοντας βαρύτητα στα δεδομένα και όχι στο ζητούμενο.

Μέγα πλήθος ασκήσεων έχει πολύ χαρακτηριστική εκφώνηση, οπότε έχει και πολύ χαρακτηριστικό τρόπο αντιμετώπισης. Είναι κρίμα να χάνονται τέτοιες ασκήσεις, όταν το μόνο που πρέπει να κάνετε είναι να ακολουθήσετε τα βήματα που υπάρχουν στο «λυσάρι» σας, δηλαδή την μεθοδολογία. Με βιαστική ανάγνωση, ακόμη και προφανείς κινήσεις μπορεί να χαθούν, αλλά και με λάθος αφετηρία στην ανάγνωση μπορεί να επέλθει το ίδιο αποτέλεσμα.

Η ΣΩΣΤΗ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ. Ξεκινήστε την ανάγνωση δίνοντας μεγαλύτερη βαρύτητα στο ζητούμενο παρά στα δεδομένα. Ειδικά στην Άλγεβρα (αλλά και στα Μαθηματικά της Γ΄ Λυκείου), το τι θα κάνετε εξαρτάται από το τι ζητείται (σε συντριπτικό ποσοστό). Τα δεδομένα πολλές φορές φαίνονται εξ αρχής ασύνδετα ή και περίεργα, κάποιες φορές ακόμη και τρομακτικά.

Ψυχραιμία. Το πώς θα αξιοποιήσετε τα δεδομένα, θα φανεί στην πορεία. Γι’ αυτό, ξεκινήστε να διαβάζετε την άσκηση από το ζητούμενο και, στην πορεία, θα δείτε πώς θα αξιοποιήσετε αυτά που δίνονται. Αν δεν υπάρχει κάτι χαρακτηριστικό στο ζητούμενο, τότε στραφείτε στα δεδομένα να βρείτε εκεί κάτι χαρακτηριστικό απ’ το οποίο θα πιαστείτε για να ξεκινήσετε την λύση. Αν υπάρχει χαρακτηριστικό και στα δεδομένα και στο ζητούμενο, τότε δώστε προτεραιότητα στο ζητούμενο. Αν δεν υπάρχει τίποτα χαρακτηριστικό πουθενά, τότε θα χρειαστεί αυτοσχεδιασμός (γι’ αυτό λέμε ότι η μεθοδολογία δεν μπορεί να «μαντρώσει» όλες τις περιπτώσεις).

ΛΑΘΟΣ 5ο. Εγκαταλείποντας στην πρώτη δυσκολία.

Κανένας μας δεν έμαθε Μαθηματικά μέσα σε μια νύχτα και κανένας δεν υπάρχει, που να μην έχει «φάει τα μούτρα του» σε ασκήσεις. Επομένως, μην ανησυχείτε για τις δυσκολίες που συναντάτε, είναι εντελώς φυσιολογικές. Σκεφθείτε το εξής: ποδήλατο μάθατε να κάνετε αμέσως; Δεν πέσατε ποτέ; Μπάσκετ μάθατε να παίζετε με το που πιάσατε μπάλα; Δεν δυσκολευθήκατε ποτέ; Τα παραδείγματα, βέβαια, δεν είναι συγκρίσιμα με το θέμα των ασκήσεων, αλλά δίνουν ένα στίγμα που περιττεύει να το εξηγήσω, είναι εύκολα αντιληπτό.

Η ΣΩΣΤΗ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ. Δεν εγκατελείπουμε με την πρώτη δυσκολία που θα συναντήσουμε. Ανοίγουμε ξανά τα βιβλία μας, τις σημειώσεις και τα τετράδιά μας, διότι η απάντηση κάπου εκεί είναι. Ψάχνουμε για ανάλογη -ή και ίδια- άσκηση, να την ξαναδιαβάσουμε και να εντοπίσουμε το λάθος μας, το σημείο που μας δυσκολεύει. Η θεωρία και η μεθοδολογία δίνουν πολλές απαντήσεις επίσης. Αν δεν την βρούμε, καταγράφουμε την απορία μας και ζητάμε βοήθεια, είτε από τον καθηγητή μας είτε από τους πολλούς και πρόθυμους καθηγητές στο διαδίκτυο.

Επιμένουμε, δεν εγκαταλείπουμε.

Ψάχνουμε, δεν εγκαταλείπουμε.

Ξαναδιαβάζουμε πιο προσεκτικά, δεν εγκαταλείπουμε.

Το παλεύουμε, δεν εγκαταλείπουμε.

Αν δεν καταφέρουμε να λύσουμε όλη την άσκηση, δείχνουμε στον καθηγητή μας μέχρι πού φτάσαμε και τον ρωτάμε τι πήγε στραβά και κολλήσαμε.

Το να εγκαταλείψουμε μία άσκηση, είναι ανθρώπινο και συμβαίνει σε όλους μας (δεν εξαιρώ τους καθηγητές φυσικά).

Το να εγκατελείπουμε τις ασκήσεις στην πρώτη δυσκολία όμως, δεν είναι σωστό.

Εύχομαι τα δύο μέρη του θέματος «Πώς διαβάζω Μαθηματικά;» να σας βοήθησαν, να σας προβλημάτισαν, αλλά και να σας έδωσαν κάποιες λύσεις σε προβλήματα που έχετε στα Μαθηματικά. Θέλησα να τα δημοσιεύσω στην αρχή της σχολικής χρονιάς, ώστε ν’ αποτελέσουν σωστή βάση για το νέο ξεκίνημα. Πρόκειται για ένα διαχρονικό θέμα, που ελπίζουμε κάποτε ν’ αφορά σε μικρή μερίδα μαθητών.

Πηγή: Μαθηματικό στέκι

Advertisements

Συντάκτης:

Μαθηματικός πτυχιούχος Καποδιστριακού Πανεπιστημιακού Αθηνών, Ειδίκευση στην Διδακτική των Μαθηματικών Μεταπτυχιακό στη Διοίκηση Υπηρεσιών, MSM

Σχολιάστε

Συνδεθείτε για να δημοσιεύσετε το σχόλιο σας:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s